解析式:
在数学中,二次函数(英语:quadratic function)表示形为
(
,且
、
、
是常数)的多项式函数,其中,
为自变量[a],
、
、
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于
轴的抛物线。[1]
二次函数表达式
的定义是一个二次多项式,因为
的最高幂次是2。
如果令二次函数的值等于零,则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]
二次方程
的两个根为:
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c22777378f9c594c71158fea8946f2495f2a28)
解方程后,我们会得到两个根:
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
和
![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766)
。则
点![{\displaystyle (x_{1},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4651c8e5721d3fac22aa26b690a08a039aa322e1)
和
![{\displaystyle (x_{2},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3acf38d6f9a0751c91f577bb0138952de7a693)
就是二次函数与
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
轴的
交点。根的
类型如下:
- 设
为一元二次方程式的判别式,又记作D。
- 当
,则方程有两个不相等的根,也即与
轴有两个不重叠的交点,因为
是正数。
- 当
,则方程有两个相等的根,也即与
轴有一个切点,因为
是零。
- 当
,则方程没有实数根,也即与
轴没有交点,因为
是共轭复数。
设
和
,我们可以把
因式分解为
。
二次函数的形式[编辑]
二次函数可以表示成以下三种形式:
称为一般形式或多项式形式。
称为因子形式或交点式,其中
和
是二次方程的两个根,
,
是抛物线与
轴的两个交点。
称为标准形式或顶点形式,
即为此二次函数的顶点。
把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根
和
,或是利用十字交乘法(适用于有理数)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式转换成标准形式有特殊的方法。
代表了二次函数的对称轴,因此两根的平均数即为
展开后比较后可得 ![{\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1c9cd1b9d0c6360bf9553fbf7d3f6294c08058)
不通过
和
求
及
公式:
![{\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a77361ce8a83dc957d6a9d16025e3c35aac33)
(也作
)
而在三种形式中皆出现的
为此二次函数的领导系数,决定二次函数图像开口的大小与方向。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/350px-Function_ax%5E2.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Function_x%5E2%2Bbx.svg/350px-Function_x%5E2%2Bbx.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Function_x%5E2-bx.svg/350px-Function_x%5E2-bx.svg.png)
- 系数
控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,即二次函数开口方向和大小。
越大,开口越小,函数就增长得越快。
- 系数
和
控制了抛物线的对称轴(以及顶点的
坐标)。
- 系数
控制了抛物线穿过
轴时的倾斜度(导数)。
- 系数
控制了抛物线最低点或最高点的高度,它是抛物线与
轴的交点。
函数
|
图像
|
函数变化
|
对称轴
|
开口方向
|
最大(小)值
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/140px-Function_ax%5E2.svg.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或 ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向下 |
|
x 截距[编辑]
当函数与
轴有两个交点时,设这两个交点分别为
,由根与系数的关系得出[d]:
和
![{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22650188243723bde39993ec0264d5e274c8c36)
抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为
。用配方法,可以把一般形式
化为:
![{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a051042fe47e962ac525c487840ff54849f0f1d8)
[2][3]
因此在一般形式中,抛物线的顶点是:
![{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7aefc237940c36c680a327faaf39f73ee8ffae)
如果二次函数是因子形式
![{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a752b4d2b61dd6d855f514f8966e3bb551a2f7c7)
,则两个根的
平均数![{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea3e201379e8fb348db809181c2cf46b858f45)
就是顶点的
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
坐标,因此顶点位于
![{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ae67ece35b3d257df9db59d509524b4567a96a)
![{\displaystyle a<0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f20d103a415995f10ad7e7d15fc4ec7ba8baea)
时,顶点也是最大值;
![{\displaystyle a>0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3375f20b7b2ee298d2ed037e867ea981e518d440)
时,则是最小值。
经过顶点的竖直线
![{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb14374df2503029f476a5a529b00da837c6594c)
又称为抛物线的对称轴。
最大值和最小值[编辑]
导数法[编辑]
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数
,寻找它的极值时,我们必须先求出它的导数:
![{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4c745347c9ba498ec096f28375c12e5d732d83)
然后,求出
![{\displaystyle f'(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89040a3e170d2bbe75e365e10b7db649bfdd0652)
的根:
![{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4010885db78e6b5473892f6fd30605c323a9f6)
因此,
![{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcda5de4a3cf20ebc76c43543eea248071319e5f)
是
![{\displaystyle f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1adac5f968f13b725859af7ad345df19bb7af)
的
![{\displaystyle x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21bb206c6c9f458130ab7ffddfe3fd8d0fa6bb)
值。现在,为了求出
![{\displaystyle y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7754a5b6023ad921781ccfb3daf40fb1471a904c)
,我们把
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b)
代入
![{\displaystyle f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1adac5f968f13b725859af7ad345df19bb7af)
:
![{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73dff62882c5d5bca0a54805d147edeb7a5860)
所以,最大值或最小值的坐标为:
![{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7aefc237940c36c680a327faaf39f73ee8ffae)
配方法[编辑]
由于实数的二次方皆大于等于0,因此当
时,
有最大或最小值
。
二次函数的平方根[编辑]
二次函数的平方根的图像要么是椭圆,要么是双曲线。如果
,则方程
描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线
的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果
,则方程
的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线
的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个空集。
二元二次函数[编辑]
二元二次函数是以下形式的二次多项式:
![{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef51cc41f1509dbaa9c380109ce0762daaaaa9d)
这个函数描述了一个
二次曲面。把
![{\displaystyle f(x,y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8837419af6cca6097deb17c7736ff2a588e0982a)
设为零,则描述了曲面与平面
![{\displaystyle z=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35af3061e06fd9162309f7ffc4441b6d304fbc3)
的交线,它是一条
圆锥曲线。
最小值/最大值[编辑]
如果
,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲抛物面。
如果
,则当
时函数具有最小值,当
具有最大值。其图像是椭圆抛物面。
二元二次函数的最大值或最小值在点
取得,其中:
![{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d87fe7005bf14a60105c7b02b2ddd9712c5178d)
![{\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ea12489414adb615a751ef47b698277d8c5f89)
如果
![{\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8bb2a79c8f97af3a1b46463e79666e2faba3d7)
且
![{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c1eb602c368e10fbe32aa8017078bca1679c5f)
,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。
如果
且
,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当
时取得最大值,
时取得最小值。其图像也是抛物柱面。
参考资料[编辑]
参考书目[编辑]
外部链接[编辑]